ピタゴラス数

ピタゴラス数とは

直角三角形において、直角三角形の直角をはさむ二辺の長さをそれぞれａ、ｂ、斜辺の長さをｃとすれば、

ａ^２＋ｂ^２＝ｃ^２

が成り立ちます。中学３年生で習うピタゴラスの定理（三平方の定理）です。

ピタゴラスの定理の逆も成り立ちます。

三角形の三つの辺の長さをａ，ｂ，ｃとするとき、もしその間に、

ａ^２＋ｂ^２＝ｃ^２

という関係が成り立つならば、この三角形は、ｃを斜辺とする直角三角形である。

このことから、ピタゴラスの定理が成り立つ数の組を、ピタゴラス数と呼んでいます。

奇数の和と平方数の関係

自然数で、１，３，５，７，９，…，２ｎ－１は、奇数になります。

その奇数を、１から順に加えていくと、次のようになります。

１＝１^２

１＋３＝４＝２^２

１＋３＋５＝９＝３^２

１＋３＋５＋７＝１６＝４^２

１＋３＋５＋７＋９＝２５＝５^２

１＋３＋５＋７＋９＋１１＝３６＝６^２

……

不思議なことに、奇数の和は、平方数（1,4,9,16,25,36‥）になります。平方数とは、自然数の二乗で表される整数です。ピタゴラスは、この平方数のことを四角数と呼びました。

このように、連続する奇数を加えることで、平方数を続けてつくることができます。

奇数を、１から順に加えた結果は、いつでも平方数になります。

１＋３＋５＋７＋…（２ｎ－１）＝ｎ^２

平方数から構成するピタゴラス数

ピタゴラスは、奇数の和である平方数をもとに、ピタゴラス数を下記のように求めていきました。

１～７と１～９の奇数の和を考えます。

１＋３＋５＋７＝４^２………①

１＋３＋５＋７＋９＝５^２…②

①を②に代入すると、

４^２＋９＝５^{２　　→②の式の１＋３＋５＋７を４²にする}

４^２＋３^２＝５^{２　→９＝３²にする}

これにより、ピタゴラス数（３，４，５）が得られます。

１～２３と１～２５の奇数の和を考えます。

１＋３＋５＋…＋２３＝１２^２………①

１＋３＋５＋…＋２３＋２５＝１３^２…②

①を②に代入すると、

１２^２＋２５＝１３^{２　　→②の式の１＋３＋５＋…＋２３を１２²にする}

１２^２＋５^２＝１３^{２　　→２５＝５²にする}

これにより、ピタゴラス数（５，１２，１３）が得られます。

この方法を続ければ、いくらでもピタゴラス数をつくり出すことできます。

例えば、（２４、７、２５）（４０，９，４１）、（６０，１１，６１）、などです。

２４^２＋９^２＝２５^２

４０^２＋９^２＝４１^２

６０^２＋１１^２＝６１^２

８４^２＋１３^２＝８５^２

まとめ

ピタゴラス数は、奇数の和である平方数をもとに構成することができます。

例えば、よく知られる（３，４，５）は、次のように導かれます。

１＋３＋５＋７＝４^２………①

１＋３＋５＋７＋９＝５^２…②

①を②に代入すると、

４^２＋９＝５^２

４^２＋３^２＝５^２

この方法で一般的な求め方は、

自然数：ｎ　ａ＝２ｎ＋１、ｂ＝２ｎ^２＋２ｎ、ｃ＝２ｎ^２＋２ｎ＋１

となります。

より一般的な方法は、異なる自然数ｍ，ｎを用いて次のように表されます。

ａ＝ｍ^２－ｎ^２，ｂ＝２ｍｎ，ｃ＝ｍ^２＋ｎ^２

※ピタゴラス数は入試問題にもよく出題されます。最近では平成２８年の国立高校の推薦入試問題で出題されています。